GAMES101(17~18节，物理材质模型）

材质 == BRDF

材质：决定了光线与物体不同的作用方式

BRDF定义了物体材质,包含漫反射和镜面部分

BSDF （scattering散射）= BRDF（reflect反射） + BTDF

光线打击到物体上会向四面八方散射

反射

光线打击到物体上反射出去的部分

给定wi 和 n 如何表示 / 计算 wo？

方法一：

反射定理：入射角θi == 出射角θo

wi/wo在n方向的投影（结果为标量）:wi/wo *(点乘） n = ∣wi∣×∣n∣×cos(θ),

再乘以n，即在n方向的投影（缩放）

wi + wo向量相加 = 2 * n = 2 * wi *(点乘） n = 2*cosθ(当wi和n都是单位向量时）

通过移项可得：wo出射光用wi入射光和n法线表示

方法二：

从顶部观察：

方位角 $\Phi$ o和 $\Phi$ i是相反的，因此角度差为π，再通过mod2π将角度差限制在0---360度之间

折射

光线打击到物体上被吸收的部分

给定wi 和 n 如何表示 / 计算 wo？

方法一：

不同材料有不同的折射率n，折射率越高，折射角越小

斯内尔定律/折射定律：当光波从一种介质传播到另一种具有不同折射率的介质时，会发生折射现象。

公式：入射介质的折射率 * 入射角 = 折射介质的折射率 * 折射角

我们实际求的是cosθt, 根据三角函数公式可以用sin形式表示，其中sin部分根据斯内尔定律可以用n和θi表示，然后根据三角函数公式可以将sin用cos形式表示

全反射现象：

这里注意到如果根号下<0，则无法得到结果

如果1-cos部分>1，并且ni / nt >1，那么1-……的结果就为负数，也就是入射介质的折射率>折射介质的折射率,这样就有可能折射不会发生

比如自然界的一种snell's window现象，从水底（密度大）折射到空气（密度小），仅能看到锥形的区域，当我角度超过一定的值，就不会折射到空气中了

对于球体，折射进来的光线一定可以折射出去，虽然球密度（折射率高）比空气大

方法二：

同样，入射光和折射光的方位角 $\Phi$ 也是相差180度

漫反射材质BRDF

能量守恒：出射能量<=入射能量

假设每个入射和出射光rradiance都是uniform常量一致的，且点不自发光，和不吸收能量，那么入射能量为Irradiance E = $\Phi$ / A，那么出射能量也是Irradiance

漫反射：入射光线打击到点p后，向四面八方均匀反射（微观遵守反射定理），不受光线入射方向，和观察角度影响

从wo方向看到的漫反射颜色 = ……其中fr是c常数，从半球wi方向入射光的反射颜色

因为fr（因为每个方向反射都一致）和 Li(入射颜色）都是常量，根据积分的常量法则，可以提取出来，

那么未提取的变量部分，则是半球cos的积分，我们知道整个球体所有立体角积分为4π，半球立体角积分为2π，而对半球 $\theta$ θ角积分为π，

又根据能量守恒，出射能量lo = 入射能量li，因此fr = 1 / π

如果定义一个albedo反射率（颜色值），BRDF即可表示颜色，通道RGB ：fr = p / π（0---π/1）

因此BRDF（fr）的漫反射部分是一个常量 p / π（对于每个wi入射光来说，fr反射方程都是相同的）

镜面反射材质 Microfacet BRDF

镜面反射：入射光线打击到点p后，向某方向反射，即受到光线入射方向，也受到观察角度影响

Frensnel Reflection菲涅尔

菲涅尔现象：

观察较光滑的桌面，当接近水平角度观察，颜色较亮，因为反射到人眼的光线更多。

绝缘体:

横轴光线和法线夹角，纵轴反射率

也就是说明反射和光线方向有关，当入射光线和物体法线越趋近平行，越趋近全反射，相反越趋近垂直，那么几乎都会折射

对于导体（金属）比较特殊，趋近于全反射

注意到反射率有一部分是先下降再上升

菲涅尔准确表示：其中根号部分根据折射定律转换

reff= 1 / 2 (rs偏振光+rp偏振光)，如果不考虑偏振的情况，那么菲涅尔方程即是上面两者的平均值

偏振极化：

光的偏振是指光波电场振动方向在垂直于光传播方向的平面内呈现出特定的规律性。这一现象是横波特有的，因为只有横波的振动方向才与传播方向垂直，而光就是一种电磁波，属于横波。在菲涅尔方程中，光的偏振影响了光在不同介质界面反射和折射时的特性，导致S偏振光和P偏振光有不同的反射率和折射率。

简化方法schlick's approxiimation：近似求反射光线的占比：

从基础反射率Ro开始，随着光线和法线夹角逐渐增长（0--90），反射率逐渐增长到1

这样的结果曲线都变为一致的，除了Ro，对于绝缘体近似的增长曲线，导体也不考虑先下降再上升

入射光所在介质的折射率为 n1 ，物体的折射率为 n2，由此计算基础反射率Ro

Microfacet Material微表面模型

假设从近处看物体是粗糙的，看到凹凸不平的微小平面，从远处看是一个平面

FGD

F菲涅尔：不同wi方向入射光线和物体法线（n）作用时，不同的反射程度

G几何函数：微表面之间相互遮挡的现象，与wi和wo方向有关（当趋近于90度微表面越容易被遮挡）

D：法线分布函数：对于每个wi入射光，有多少微表面，能够把入射光wi反射到wo方向，只有当微表面和h半程方向完全一致

BRDF性质

性质：

>=0

线性性质：拆分为漫 + 镜

可逆性：交互wi和wo，BRDF结果一致

能量守恒

各项同/异性材质：

球形坐标表示：输入方向 $\theta$ i $\Phi$ i输入方向， $\theta$ r $\Phi$ r输出方向

Isotropic各项同性材质：微表面不存在一定方向性，brdf只和相对的方位角有关，（因此旋转后仍 == 原BRDF）

因此fr，仅和wi和wo的方位角 $\Phi$ 的插值有关

anisotropic各项异性材质：微表面存在一定方向性，使得结果分布具有方向性，BRDF不满足在方位角上旋转得到的还是相同的BRDF，各向异性材质和绝对方位角有关（旋转后！= 原BRDF）

无论是否各项同性，都遵守可逆性，因此直接写为绝对值，结果都是一样的

测量brdf

可以用不同的模型表示，那什么才是正确的模型？

但是物理模型和现实现象总是有偏差，可以通过实验测量得出结果，通过大量的存储空间储存这些数据，以便直接使用测量的数据

对于某种材质一个着色点通过测量所有可能输入方向和所有输出方向（嵌套for）

简述computer Graphics 高级技术

无偏光线传播：无偏光线传播指的是在多次重复采样下，得到的结果接近所估计的真值，即无论样本数量多少，算出的期望值永远是对的。这种方法的优点在于其结果的准确性和可靠性，但往往也伴随着较高的计算复杂度和较长的渲染时间。

有偏光线传播：有偏光线传播指的是在多次重复采样下，存在一定系统误差的估计方法。虽然其估计出的期望值与真实值不完全一致，但在样本足够多的情况下，期望会收敛到正确的值。

有偏的：结果模糊的

一致的：lim情况可以收敛到正确的值

收敛速度：得到正确结果的速度，比如对于蒙特卡洛求解定积分，因为每个子样本的概率都是均等的，所以在相同数量采样情况下，很难得到正确结果，收敛速度慢

Biased无偏光线传播

Bidrectional path teacing BDPT双向路径追踪

定义：双向路径追踪分别从光源和摄像机生成一系列半路径，然后再连接两个半路径的端点形成整条路径。
优点：适用于复杂光照情况下的光线传播，特别是当光源间接照射时，BDPT能够更准确地模拟光线在场景中的传播路径。
缺点：实现困难且渲染速度较慢。

metropolis light transport MLT metropolis光线传播

定义：MLT运用了马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）方法，通过一系列方法使得样本的形状与被积函数一致，从而生成符合任意函数的概率密度函数的样本。

生成的PDF曲线和被积函数形状越近似，结果越准确，

优点：非常善于在局部探索困难的光路，适用于处理复杂的光线传播问题
缺点：难以估计收敛速度，且不能保证每个像素的收敛速度相等，通常不用于渲染动画。

UnBiased有偏光线传播（期望是有偏的，但是lim极限情况会收敛到正确值）

Photon mapping光子映射

步骤：
1. 从光源出发，发射光子并进行反射，直至光子接触到漫反射材质表面停下。
2. 从相机出发，打出一系列子路径并进行反射，直至碰撞到漫反射表面。
3. 计算每个着色点邻近N个光子的局部密度（光子数 / N个光子覆盖面积），以此估计光照强度。
优点：非常善于处理镜面-漫反射-镜面（SDS）路径和产生焦散线（caustics）现象(SDS路径，折射--反射--折射)。
缺点：当N取较小时，噪声大；N取较大时，会模糊。此外，光子映射是一种有偏的估计方法。

为什么有偏？因为我们要计算一个点的颜色，确从周围N个光子覆盖面积求值，

有偏光线传播在样本足够多的情况下，期望会收敛到正确的值：当光子数量足够多，那么采样范围足够小->0，那么lim情况下，期望会收敛到正确的值

如果从一个小范围采样光子数呢？它永远都是有偏的，因为这个采样范围是固定的，永远收敛不到正确的值